Дек
13

Необычные системы счисления

Рассматривая непозиционные и позиционные системы счисления, я ни разу не упоминала про необычные системы счисления, а они существуют. Рассмотрим некоторые из них и разберем принцип перевода этих систем счисления в другие системы.

 

Итак, приступаем. Вот некоторые их необычных систем счисления.

 

 Унарная система счисления

Уна́рная (единичная, разная) система счисления — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

Вспомните детство, когда вы только учились считать и считали примерно так: раз палочка, еще раз палочка, и еще раз палочка и т.д.

Так и здесь. В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка, узелок, зарубка и др. Запись числа здесь выглядит следующим образом: ||||||||| – это 9. Или оно же может выглядеть так: vvvvvvvvv – это с помощью “галочек”.

Унарную систему принято считать позиционной, хотя на самом деле она таковой не является.

 

Фибоначчиевая система счисления

Числа Фибона́ччи — элементы числовой последовательности, где каждое следующее число образуется суммой двух перед ним стоящих чисел (кроме первых двух).

Вот эти числа: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …

Эта смешанная система счисления для целых чисел основывается на числах Фибоначчи:

  • F2= 0+1 = 1,
  • F3= 1+1 = 2,
  • F4= 1+2 = 3,
  • F5= 2+3 = 5,
  • F6= 3+5 = 8 и т.д.

 

Нега-позиционная система счисления

Не́га-позицио́нная система счисления — это позиционная система счисления с отрицательным основанием.

Особенностью таких систем является отсутствие знака перед отрицательными числами. Всякое число любой из нега-позиционных систем, отличное от 0, с нечётным числом цифр — положительно, а с чётным числом цифр — отрицательно.

  •  174-10 = 1*(-10)2 + 7*(-10)1 + 4*(-10)0 = 1*100 + 7*(-10) + 4 = 100 – 70 + 4 = 3410  (здесь в числе 174 всего 3 знака, поэтому заранее можно было сказать, что число положительное!)
  •  46-10 = 4*(-10)1 + 6*(-10)0 = 4*(-10) + 6 = -40 + 6 = -3410  (здесь в числе 46 всего 2 знака, поэтому заранее можно было сказать, что число отрицательное!)
  •   11001-2 = 1*(-2)4 + 1*(-2)3 + 1*(-2)0 = 16 – 8 +1 = 910 (здесь в числе 11001 всего 5 знаков, поэтому заранее можно было сказать, что число положительное!)

 

Уравновешенная система счисления

Это как чашечные весы: чтобы их уравновесить, надо на правую чашку весов положить такую же гирьку, как и на левую.

Уравновешенные системы счисления бывают только с нечетным основанием: 3, 5, 7 и т.д.

Например:

  • троичная уравновешенная система состоит из чисел 0, 1 и -1 (всего ТРИ знака)
  • десятичная уравновешенная система состоит из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, -1, -2, -3, -4, -5 (всего ДЕСЯТЬ знаков)

Запись в этой системе счисления выглядит так:

Здесь тоже можно сделать вывод о знаке числа: если первым стоит положительное число, то и ответ будет положительным, а если первое отрицательное, то и ответ в итоге отрицательный.

И перевод здесь осуществляется следующим образом:Примеры перевода

 

Факториальная система счисления

Сначала рассмотрим, что такое факториал.

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно.

То есть n! = 1*2*3*…*n

Примеры:

  • 2! = 1*2 = 2
  • 5! = 1*2*3*4*5 = 120
  • 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320
  • 10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800
  • d! = 1*2*3*4*…*d

Принято считать, что

Факториа́л нуля равен единице.

  • 0! = 1

 

Ну, а теперь рассмотрим саму факториальную систему счисления. В ней основаниями являются последовательности факториалов.

Эта система отличается от остальных при переводе:

Если раньше для всех остальных систем мы считали количество знаков, оставшихся ЗА цифрой, то здесь считаем количество  ВМЕСТЕ  с ней!!!

 

  •   1345ф = 1*4! + 3*3! + 4*2! + 5*1! = 1*(1*2*3*4) + 3*(1*2*3) + 4*(1*2) + 5*1 =  1*20 + 3*6 + 4*2 + 5*1 = 20 + 18 + 8 + 5 = 5110 (т.е. берем первый знак – 1, с ним вместе осталось 4 знака, поэтому умножаем 1 на 4!; далее идет 3, с ней вместе осталось 3 знака, поэтому 3*3!; далее 4, с ней вместе 2 знака, потому 4*2!; и в итоге 5, за ним знаков нет, это одна цифра, поэтому 5*1!)
  • 607ф = 6*3! + 7*1! = 6*(1*2*3) + 7* (1) = 6*6 +7*1 = 36 + 7 = 4310

 

Смешанная система счисления

В смешанной системе счисления может использоваться любая из ранее нами рассмотренных систем счисления:

= 2*54 -1*33 + 1*22 +5*2! +F3 = 2*625 – 1*27 + 1*4 + 5*(1*2) + (1+1) = 1250 – 27 + 4 + 10 + 2 = 123910

 

Предыдущий материал можно найти здесь.


Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники

Ещё по этой теме:

Рубрики:
Ссылки
Управление:
Метки:
Яндекс.Метрика
Розыгрыш приза
Конфетка от Галины Дитрих до 27 мая